​互斥事件、独立事件，你分得清楚吗？

互斥事件、独立事件，你分得清楚吗？

2021年高考数学新高考卷I的第8题（单选题）是：

有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件＂第一次取出的球的数字是1＂，乙表示事件＂第二次取出的球的数字是2＂，丙表示事件＂两次取出的球的数字之和是8＂，丁表示事件＂两次取出的球的数字之和是7＂，则（）

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立

考完后一个学生对我说，＂老师，这道题看起来简单，但做的时候不知道从何处下手，每个选项都好像对又好像错，我只好随便蒙一个答案＂。有这种感觉的考生应该不是少数。究其原因，考生没学好是主要的，但教师也有一定的责任。因为不少的教师（包括我自己）在＂概率与统计＂的教学及复习中只重视概率的计算及解题的规范性（如做大题时要说明事件是互斥的还是独立的），而忽视了概念的辩析，导致学生知道互斥、对立与独立这些概念，但却不知道如何去辩别。就连网络上发布的这道题的答案有些都是A，这说明答案发布者都出现了错误，何况考生呢？

那么，什么是互斥事件，什么是独立事件呢？

若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥。其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

若P（A∩B）＝P（A）•P（B），则称事件A与事件B相互独立。即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。

以上定义，就是判断事件A与B是否互斥、独立的方法。

在本题中，记事件甲，乙，丙，丁为A，B，C，D，则这个问题中共有36个基本事件，其中A＝｛（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）｝，B＝｛（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2）｝，C＝｛（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）｝，D＝｛（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）｝。所以A∩B＝｛（1，2）｝，A∩D＝｛（1，6）｝，B∩C＝｛（6，2）｝，B∩D＝｛（5，2）｝，A∩C、C∩D是不可能事件，从而甲与乙、甲与丁、乙与丙、乙与丁不是互斥事件，甲与丙、丙与丁是互斥事件。注意：这道题不是要你判定是否互斥。

又P（A）＝P（B）＝P（D）＝6／36＝1／6，P（C）＝5／36，P（A∩B）＝P（A∩D）＝P（B∩C）＝P（B∩D）＝1／36，P（A∩C）＝P（C∩D）＝0，所以P（A∩B）＝P（A）•P（B），P（A∩D）＝P（A）•P（D），P（B∩D）＝P（B）•P（D），P（B∩C）≠P（B）•P（C），P（A∩C）≠P（A）•P（C），P（C∩D）≠P（C）•P（D），所以甲与乙、甲与丁、乙与丁相互独立，乙与丙、甲与丙、丙与丁不相互独立。故本题的正确答案是B。

本题的＂最大迷惑＂支是选项A，其实A是错误的也很好理解，若事件甲发生了，则事件丙不可能发生（因为第二次取出的球的数字不可能是7），也就是说，事件甲的发生影响了事件丙的发生，从而甲与丙不是独立的。

今天的试题分享就到这里，欢迎大家下方留言或评论，一起说说你们的想法与感受吧。